表示性错误

xhz

本小节将详细解释 "0.1" 的例子，并说明你可以怎样亲自对此类情况进行精确分析。 假定前提是已基本熟悉二进制浮点表示法。

表示性错误 是指某些（其实是大多数）十进制小数无法以二进制（以 2 为基数的计数制）精确表示这一事实造成的错误。 这就是为什么 Python（或者 Perl、C、C++、Java、Fortran 以及许多其他语言）经常不会显示你所期待的精确十进制数值的主要原因。

为什么会这样？ 1/10 是无法用二进制小数精确表示的。 至少从 2000 年起，几乎所有机器都使用 IEEE 754 二进制浮点运算标准，而几乎所有系统平台都将 Python 浮点数映射为 IEEE 754 binary64 "双精度" 值。 IEEE 754 binary64 值包含 53 位精度，因此在输入时计算机会尽量将 0.1 转换为以 J/2**N 形式所能表示的最接近的小数，其中 J 为恰好包含 53 比特位的整数。 重新将

1 / 10 ~= J / (2**N)
写为

J ~= 2**N / 10
并且由于 J 恰好有 53 位 (即 >= 2**52 但 < 2**53)，N 的最佳值为 56:

>>>
2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
True
也就是说，56 是唯一能使 J 恰好有 53 位的 N 值。 这样 J 可能的最佳就是舍入之后的商:

>>>
q, r = divmod(2**56, 10)
r
6
由于余数超于 10 的一半，所以最佳近似值可通过向上舍入获得:

>>>
q+1
7205759403792794
因此在 IEEE 754 双精度下可能达到的 1/10 的最佳近似值为:

7205759403792794 / 2 ** 56
分子和分母都除以二则结果小数为:

3602879701896397 / 2 ** 55
请注意由于我们做了向上舍入，这个结果实际上略大于 1/10；如果我们没有向上舍入，则商将会略小于 1/10。 但无论如何它都不会是 精确的 1/10！

因此计算机永远不会 "看到" 1/10: 它实际看到的就是上面所给出的小数，即它能达到的最佳 IEEE 754 双精度近似值:

>>>
0.1 * 2 ** 55
3602879701896397.0
如果我们将该小数乘以 10**55，我们可以看到该值输出 55 个十进制数位:

>>>
3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
这意味着存储在计算机中的确切数字等于十进制数值 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625。 许多语言（包括较旧版本的 Python）都不会显示这个完整的十进制数值，而是将结果舍入到 17 位有效数字:

>>>
format(0.1, '.17f')
'0.10000000000000001'
fractions 和 decimal 模块使得这样的计算更为容易:

>>>
from decimal import Decimal
from fractions import Fraction

Fraction.from_float(0.1)
Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

(0.1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)

Decimal.from_float(0.1)
Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
'0.10000000000000001'